Научно-исследовательская деятельность кафедры связана с решением фундаментальных и прикладных задач в области теории функций и функционального анализа, дифференциальных уравнений, математической физики.

Основные направления научных работ кафедры

Одно из направлений научной работы кафедры представлено профессором В.А.Треногиным. Оно связано с применением предложенного им в своё время современного аналитического метода теории бифуркаций в банаховых пространствах – метода Ляпунова-Шмидта, названного им так в честь этих выдающихся ученых, заложивших основы теории бифуркаций решений нелинейных интегральных уравнений.
 
Профессором Б.Г.Разумейко проводилась совместная с кафедрами института физико-химии материалов работа, связанная с построением математических моделей в нанотехнологиях.
 
Продолжена работа по направлению «Информационные технологии в высшем образовании», в рамках которой подготовлены и прочитаны электронные версии лекций по следующим дисциплинам: математический анализ, уравнения математической физики, теория вероятностей и математическая статистика, обыкновенные дифференциальные уравнения, функциональный анализ, аналитическая геометрия, элементы линейной и общей алгебры.

Основные научные и технические результаты 

1. Редукция задачи к бифуркационному уравнению часто позволяет провести ее законченное исследование, использующее алгебраические, топологические, вариационные, групповые и численные методы. В практических задачах всё чаще и чаще встречаются ситуации, когда их линейная часть не является ни фредгольмовым, ни нетеровым оператором. Кроме того, при высоких вырождениях через точку бифуркации может проходить много ветвей решений и даже поверхностей, составленных из решений. Получены результаты, связанные с этим кругом вопросов.
 
2. Рассматривалась задача Коши для абстрактного параболического дифференциального уравнения в банаховом пространстве Х
x'(t)+Bx=R(x),  x(0)=0 (1)   
в следующих предположениях:
 I.     B - замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения D;
 II.    B - фредгольмов оператор в следующем случае: его подпространство нулей N(B) n-мерно, а область значений замкнута в X и имеет n-мерное прямое дополнение;
 III.   B является генератором ограниченной на X аналитической полугруппы U(t);
  IV.   нелинейный оператор R(x) является аналитическим в смысле Фреше в точке x=0 и R(0)=R' (0)=0.
В предшествовавших работах полугруппа U(t) предполагалась экспоненциально убывающей, а оператор B непрерывно обратимым. На основе леммы Шмидта-Треногина задача (1) редуцируется к эквивалентной задаче Коши в Rn, являющейся аттрактором уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта. На этом пути установлен ряд утверждений об устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову тривиального решения (1). Кроме того, для дифференциального уравнения (1) рассмотрена задача о периодических решениях (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа). Эти же аргументы применялись к дифференциальному уравнению вида (1) с линейным оператором (вырожденным или невырожденным) при производной.

3. Решалась задача об определении потенциальной энергии несжимаемой тяжелой капиллярной флотирующей жидкости в трехмерном слое бесконечной глубины со свободной верхней границей. Вычислена асимптотика периодических режимов на свободной верхней границе, близкой к горизонтальной плоскости, ответвляющихся от основного течения с постоянной скоростью V в направлении оси Ox. Исследована их устойчивость относительно возмущений тех же периодов. Использовались методы симметрийной теории бифуркаций и группового анализа дифференциальных уравнений, первый метод А.М. Ляпунова в применении к обыкновенному дифференциальному уравнению, в правой части которого стоит нелинейный оператор конечномерного уравнения разветвления.

Отчеты по научной деятельности

 

Объекты интеллектуальной собственности (патенты, НОУ–ХАУ) 

Заявка №2008127198 на выдачу патента на изобретение «Способ получения магнитотвердого композиционного материала с нанокристаллической структурой»/ Лилеев А.С., Разумейко Б.Г., Викторов В.Н., Жуков Д.Г., Старикова А.Н., Дупляков А.В. Приоритет заявки 07.07.2008.