Ссылка на домашнюю страницу магистратуры


Введение в методы континуального интегрирования в физике конденсированных сред

Преподаватель: Ярослав Игоревич Родионов
Правка: 15 Дек 2013

Аннотация курса

Идея курса состоит в том, чтобы познакомить студентов с применениями метода континуального интегрирования для современных задач в области физики конденсированного состояния. Цель курса – дать студентам прочные навыки использования данного метода с помощью тщательно отобранных примеров и задач. Курс содержит математический экскурс в теорию комплексных чисел, основы вторичного квантования, квантования полей, описание квантовой статистической механики на языке континуального интегрирования. Курс также дает основы теории возмущений при конечных температурах, теорию линейного отклика, основы ренормализационного группового анализа и теории эффективного поля. Курсовой проект состоит из теоретического описания одноэлектронного транзистора с использованием эффективного действия Амбегаокара-Экерна-Шона.

Формат курса

Лекции (часов) Семинар (часов) Самостоятельная работа (часов) Контроль (часов) Итого (часов)
17 34 66 27 144

Отметим что каждый час классных занятий студент должен прорабатывать в течении трёх часов самостоятельно.

Обзор курса

  1. Введение в мат. аппарат.
    1. Интегралы в комплексной алоскости, вычисление бесконечных сумм и произведений методом вычетов. Теорема Руше. Метод перевала. Решение тренировочных задач.
    2. Метод Лапласа решения дифференциальных уравнений. Вычисление асимптотик в комплексной плоскости.
    3. Демонстрация метода Лапласа: решения уравнения Шредингера: Атом водорода и осциллятор. Интерпритация решения осциллятора: Понижающие повышающие операторы. Базис чисел заполнения. Когерентные состояния.
  2. Общая идея вторичного квантования многочастичной системы.
    1. Общая схема вторичного квантования, коомутационные соотношения. Примеры: a) Газ бозонов. b) Газ фермионов. Туннельный гамильтониан. с) Осциллятор, как пример простейшей вторично-квантованной системы. d) Теорема Хаусдорфа-Беккера.
  3. Переход к квантованию полей.
    1. Цепочка из N атомов. Переход от дискретной системы к полевой. Классическая теория поля. Скалярное и векторное поле. Спонтанное нарушение симметрии.
    2. Квантование скалярной теории поля. Поле как система осцилляторов. Квазичастичная интерпритация квантовой цепочки. Квантование фононов.Квантование поля со спонтанно-нарушенной симметрией.
  4. Введение в интеграл по траекториям.
    1. Функция распространения. Общая идея об интеграле по траекториям. Аналогия с гамильтоновой механикой. Гауссовы интегралы. Базис когерентных состояний. Примеры вычисления для свободной частицы и осциллятора.
    2. Интеграл по траекториям для фермионов. Алгебра и анализ грассмановых переменных.
  5. Применение интеграла по траекториям в физике конденсированного состяния.
    1. Квантовая статистическая система. Статистическая сумма и статистический оператор. Вычисление статистического оператора с помощью функционального интеграла. Примеры: a) Газ свободных фермионов. b) Осциллятор. Евклидовое время.
    2. Теория линейного отклика. Решающая роль парных корреляционных функций в анализе системы. Вычисление парных корреляционных функций для простейших систем.
    3. Теория возмущений в формализме интеграла по траекториям.
    4. Идеология перенормировки в формализме функционального интеграла. Бета-функция. Вычисление бета-функции для нелинейной сигма-модели.
    5. Преобразование Хаббарда-Стратоновича. Электронный газ с 4-х фермионным контактным взаимодействием. Теория среднего поля. Примеры: Модель Гросса-Неве. Модель БКШ.
    6. Курсовой проект. Вывод действия Амбегаокара-Экерна-Шона для одноэлектронного транзистора. Расчет бета-функции для случая хорошо проводящего контакта. Обсуждение инстантонных решений. Кулоновская блокада.

Литература

Теория:

  1. Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. Том 03. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Теоретическая физика. ФИЗМАТЛИТ, 6 edition, 2008.
  2. Михаил Лаврентьев and Борис Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
  3. Валерий Рубаков. Классические калибровочные поля. Теории с фермионами. Некоммутативные теории. Либроком, 3 edition, 2009.
  4. Майкл Е. Пескин and Дэниел В. Шредер. Введение в квантовую теорию поля. Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
  5. Ричард Фейнман and А. Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Мир, 1968.
  6. Андрей Славнов and Людвиг Фалдеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1978.
  7. Alexander Altland. Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press, Cambridge ; New York, 2 edition edition, April 2010.
  8. Jean Zinn-Justin. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford University Press, Oxford : New York, 4 edition edition, August 2002.
  9. Hagen Kleinert. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets. World Scientific Publishing Company, New Jersey u.a., 5 edition edition, May 2009.
  10. Алексей Цвелик. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. ФИЗМАТЛИТ, 2002.
  11. Вайнберг С. Квантовая теория поля: Т. 2: Современные приложения (пер. с англ.; под ред. Жуковского В.Ч.). Физматлит, 2003.

Задачи:

  1. А.Г. Аленицын, А.С. Благовещенский, М.А. Лялинов, and В.В. Суханов. Методы математической физики. СПб.: СПБГУ, 2007.
  2. Виктор Галицкий, Борис Карнаков, and Владимир Коган. Задачи по квантовой механике. Часть 1. Едиториал УРСС, 3 edition, January 2001.
  3. Виктор Галицкий, Борис Карнаков, and Владимир Коган. Задачи по квантовой механике. Часть 2. Едиториал УРСС, 3 edition, 2001.
  4. Леонид Левитов and Андрей Шитов. Функции Грина. Задачи и решения. ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Домашние задания

Домашнее задание выдаётся студентам после прохождения каждой темы.

Оценка

Работа в классе 10%
Домашние задания 20%
Контролькая работа 20%
Экзамен 50%