В рамках научно-методического семинара кафедры математики Университета МИСИС под руководством академика РАН В.В. Козлова, профессора А.А. Давыдова, профессора А.Н.Печеня в среду 14 мая в 16:20 в аудитории Л-512 состоится доклад кандидата физико-математических наук, доцента кафедры «Высшая математика» МАДИ Марка Александра Викторовича «Основы геометрической теории дефектов. Эллиптические и параболические дислокации».
Дефекты в упругих средах определяют большинство их свойств, таких как пластичность, упругость, ползучесть и многие другие. Наиболее часто встречающимися дефектами являются дислокации, возникающие в самой среде, и дисклинации — дефекты спиновой структуры. Дислокации в бесконечной упругой среде создаются следующим образом. В среде делаются разрезы произвольным образом, затем она деформируется, и края разрезов склеиваются. При этом некоторое количество вещества, возможно, удаляется или добавляется.
Затем среда приходит в равновесное состояние, которое называется дислокацией. В геометрической теории дефектов дислокация представляет собой топологически тривиальное многообразие, диффеоморфное R^3, на котором задана локально плоская метрика. При этом в местах склейки возможно появление особенностей. Это означает, что в среде возникают отличные от нуля напряжения, которые нельзя устранить никакой непрерывной деформацией.
В геометрической теории дефектов дислокации описываются уравнениями Эйнштейна. Для отдельных дислокаций внутри какого-либо класса метрик ищутся метрики с нулевым тензором кривизны. Затем находится преобразование координат, переводящих найденную метрику в метрику евклидова пространства. При этом область определения новых координат описывает процесс создания дислокации. Простейшим примером является клиновая дислокация, когда из среды вырезается клин, соответствующий хорошо известной конической особенности.
Эта задача решена для метрик, допускающих полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для геодезических линий и имеющих два вектора Киллинга и один квадратичный закон сохранения. А именно, найдены все локально плоские метрики в данном классе и описаны соответствующие дислокации. В частности, впервые описаны гиперболические, эллиптические и параболические дислокации.